АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Разглядим огромное количество Rn строк длины n.

Rn=(xi,..,xn) с операциями сложения и умножения на число:

Если А=(а1, а2,..,аn)єRn;

B=(b1, b2,..,bn)єRn; єR;

то А+В=(a1+b1, a2+b2,..,an+bn), A=( a1, a2,.., an).

Разумеется, что для А, ВєRn; єR:
1)A+B=B+A АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО;

2) (A+B)= A+ B;

3) (bA)=( b)A;

4)( + )A= A+ A;

Нулевая строчка =(0,..,0) обладает качествами:

+А=А; АєRn; A+ =A.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СТРОК

Пусть A1,A2,..,An є Rn,

1, 2,.., nє R.

1A1+ 2A2+...+ nAn

-это именуется линейной композицией строк {A1,..,An} с коэффициентами { 1,.., n}

(как само выражение, так и его итог АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО).

Линейная композиция именуется очевидной, если все =0 n;

Если хотя бы один их коэффициентов a не равен 0, то композиция именуется нетривиальной ( + +...+ =0).

Опр.:

Строчки А1,..,An є Rn именуются линейно зависимыми, если есть их нетривиальные линейные композиции, равные 0(нулевой строке).

1,..λn: λ1А1,...,λnAn = , причём ,..., = 0.

Строчки А1,...,Аn є Rn именуются АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО линейно Независящими, если только очевидная линейная композиция строк равна 0, т.е. λ1А1+...+λnAn = λ1=...=λn = 0

Если строчка В является линейной композицией строк А1,...,Аn, то молвят, что В линейно выражается через А1,...,Аn.

Аксиома

Строчки А1,...,Аn линейно зависимы одна из их линейно выражается через другие.

Подтверждение:

1)Пусть А1,...,An линейно АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО зависима, означает ∃ λ1,...,λn (не все = 0): λ1А1+...+λnAn = .

Пусть λ1=0, тогда А1= - А2 -...- Аn

2)Пусть А1 линейно выражена через А2,...,Аn. A1= 2A2 +...+ nAn

Тогда А1- 2А2-...- nAn = .

Получили нетривиальную линейную комбинацию, равную .

Пример:

Возьмём строчки из Rn:
E1=(1,0,0,...,0)

E2=(0,1,0,...,0) и т.д.

Еn=(0,0,0,...,1)

Строчки E1,...,En линейно независимы.

Покажем это:

Пусть λ1Е1+λ2Е АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО2+...+λnEn = , но λ1Е1+...+λnEn = (λ1, λ2,...,λn)

Если (λ1, λ2, ..., λn) = 0, то λ1=λ2=...=λn= , т.е. линейная композиция элементарна.

Означает Е1,...,Еn линейно независимы.

Ч.Т.Д.

Замечание

Можно рассматривать столбцы как элементы Rn.

Вопрос 10. Определение ранга матрицы. Аксиома о базовом миноре.

  1. Определение ранга матрицы.

Пусть A - матрица m×n. Обозначим ее строчки A1, A2, … An АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, а столбцы - A(1), A(2), … A(n).

Выберем k строк и k столбцов и составим матрицу из частей данных строк и столбцов. Определитель приобретенной матрицы именуют минором порядка k (обозначают: , где i1, i2, …, ik – номера строк, j1, j2,…, jk – номера столбцов).

Определение: рангом (ненулевой) матрицы именуют наибольший порядок ненулевых миноров АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО.

Ранг нулевой матрицы равен нулю. Обозначения: rA, rgA, rangA, rankA, rkA.

Если rkA = r, то в матрице существует ненулевой минор порядка r. Этот минор именуется базовым. Строчки и столбцы, образующие этот минор, именуются базовыми.

  1. Аксиома о базовом миноре.

Аксиома:

1) Базовые строчки и столбцы линейно независимы.

2) Все АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО другие строчки и столбцы матрицы линейно выражаются через базовые строчки (столбцы).

Подтверждение:

1) Будем считать, что базовый минор находится в левом верхнем углу. Его порядок равен r.

Представим, что строчки A1,…Ar линейно зависимы. Тогда одна из их линейно выражается через другие. Пусть A1 = λ2A2 + … +λrAr.

Тогда:

.

Но это противоречит определению базового АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО минора.

2) Будем считать, что базовый минор находится в левом верхнем углу. Его порядок равен r.

Построим матрицу, добавив к базовому минору k-ю строчку и j-й столбец.

Определитель этой матрицы равен нулю (Если j>r и k>r, то это минор порядка r+1, означает, он равен нулю).

Разложим определитель АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО по j-му столбцу: Но – базовый минор, потому . Тогда . Получим . Т.е. . Аксиома подтверждена (подтверждение для столбцов - аналогично).

Следствия из аксиомы:

1) Определитель матрицы равен нулю и тогда только тогда, когда одна из строк (столбцов) линейно выражается через другие.

Подтверждение:

1. Если одна из строк линейно выражается через другие, то см АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. подтверждение аксиомы о базовом миноре.

2. Если определитель матрицы равен нулю, то базовый минор в матрице имеет наименьший порядок, чем матрица. Как следует, есть строчка (столбец), не входящая(-ий) в базовый минор и линейно выражаемая(-ый) через строчки (столбцы) базового минора.

2) Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независящих АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО строк (столбцов).

Замечание 1: ранги начальной и транспонированной матрицы равны.

Замечание 2: дописывание либо вычеркивание нулевой строчки либо нулевого столбца не меняет ранг матрицы.

Вопрос 11. Ранг произведения матриц.

Лемма: пусть , при этом k>m. Если строчки линейно выражаются через , то они линейно зависимы. По другому: если большая система выражается через наименьшую, то она АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО линейно зависима.

Подтверждение: пусть

Получим матрицу:

. Т.к. k>m, то k>rkC. Как следует, есть строчка Ci, которая выражается через строчки Ci1, Ci2,…,Cir. (r=rkC). Означает, существует λ1,…, λr такие, что Ci = λ1Ci1+…+ λrCir.

Cij=λ1Ci1+…+ λrCi1∀i=1…n. Но тогда:

Bi = Ci1A1+…+CimAm = (λ1Ci1,1+…+ λrCir АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО,2)A1+…+(λ1Ci1,m+…+ λrCir,m)Am = λ1(Ci1,1A1+…+Ci1,mAm)+…+λr(Cir,mAm +…+Cir,mAm)= λ1Bi1+…+λrBir, т.е. B1…Bk – линейно зависимы.

Следствие: если B1,…,Bk линейно выражаются через A1,…,Am (Am∈ℝn), при этом B1,…,Bk линейно независимы, то k≤m.

Замечание: , т.е. столбец C=AB является АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО линейной композицией столбцов матрицы A.

Аксиома о ранге произведения: пусть C=AB. Тогда rkC≤rkA и rkC≤rkB.

Подтверждение: базовые столбцы матрицы C линейно выражаются через столбцы матрицы A. Как следует, они линейно выражаются через базовые столбцы матрицы A. Как следует (по следствию из леммы), количество базовых столбцов матрицы C АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО не превосходит количества базовых столбцов матрицы A. Т.е. rkC≤rkA.

Т.к. базовые строчки матрицы C линейно выражаются через строчки матрицы B, то rkC≤rkB.

Следствие: умножение на невырожденную матрицу не меняет ее ранга.

Подтверждение: т.к. C=AB, то rkC≤rkB. Т.к. A – невырожденная АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, то существует A-1, тогда B=A-1C. Потому rkB≤rkC. Означает, rkC=rkB.

Вопрос №12 Ранг матрицы и простые преобразования. Способ Гаусса нахождения ранга матрицы.

Аксиома.

Простые преобразования не меняют ранг.

Подтверждение.

Эквивалентные преобразования 1 типа эквивалентны умножению на матрицу Е1=

Эквивалентные преобразования 2 типа эквивалентны умножению на матрицу E2=

Эквивалентные преобразования 3 типа эквиваленты АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО умножению на матрицу E3=

Так как матрицы E1,E2,E3 невырожденные то умножение на их не меняет ранга.

Способ Гаусса нахождения ранга матрицы.

Приводим матрицу к ступенчатому виду при помощи простых преобразований. Количество ступеней в этом ступенчатом виде равно рангу матрицы.

Неуверен в корректности написания матриц АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО потому безотступно советую сверить со собственной записью.

Вопрос №13 Аксиома Кронекера-Капелли

Пусть a11x1+…..+a1nxn=b1

…………………………….

am1x1+…..+amnxx=bm

система линейных уравнений. В матричном виде A*X=B. Присоединяем к матрице A столбец B.

A*= Такая матрица именуется расширенной матрицей системы линейных уравнений.

Аксиома

Система совместна и тогда только тогда когда ранг начальной АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО матрицы равен рангу расширенной матрице.

Подтверждение.

1)Пусть система совместна тогда 1,……. n решение системы как следует 1A(1)+ 2A(2)+……+ nA(n)=B как следует B является линейной композицией столбцов матрицы A как следует ранг расширенной матрицы равен рангу начальной.

2)Пусть ранг начальной матрицы равен рангу расширенной как следует базовый АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО минор начальной матрицы A является базисным для расширенной матрицы как следует B линейно выражается через столбцы столбцы базового минора матрицы A как следует 1,……. n

1A(1)+ 2A(2)+……+ nA(n)=B как следует 1,……. n решение системы.

14.Системы линейных уравнений и простые преобразования. Способ Гаусса решения систем линейных уравнений.

Утверждение 1Преобразование, оборотное АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО простому – простое.

Утверждение 2Пусть A*- расширенная матрица системы линейных уравнений A*X=B, тогда простые преобразования над строчками A* не меняют огромного количества решений системы.

Док-во. Пусть A** - матрица, приобретенная и А, при помощи простых преобразований. Если { ,…, } – решение начальной системы, то оно является решением получившийся системы. Означает, решений меньше не стало АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. Потому что оборотные простым – простые, то решений не могло стать больше. Итак, огромное количество решений не поменялось.

Способ Гаусса. При помощи простых преобразований приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду:

, где a,b,c,d,e – некие числа.

Не теряя общности, будем считать, что матрица имеет вид:

. Пусть r=rank АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО A*

1) Если есть строчка вида

, то система не совместна. (rkA ≠ rk A*)

2) Пусть таких строк нету, тогда м-ца соответствует системе

………………………………………………………….;

Оборотный ход Вычтем из первой строчки r-ю строку с коэффициентом ; из 2-ой строки r-ю c коэффициентом и т.д. до (r-1)строки. В r АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ом столбце сейчас стоят одни нули, не считая элемента .

То же самое делаем с (r-1) столбцом и т. Д. до первого столбца. Получим матрицу:

ó ;

Либо :

Назовем переменные .

Замечания:

1. Если r=n, то система имеет единственное решение.

2. Однородная система нетривиально совместна ór

Вопрос № 15.1)Подпространства в .2)Структура огромного количества решений однородной системы линейных АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО уравнений. 3)Базовая система решений.

1)Определение: Пусть . V именуется линейным подпространством, если из того что x, y V → αx,βy для α,β.

Пример. X1,X2,…,Xn V= Огромное количество всех линейных композиций строк X1,…Xn именуется линейной оболочкой.

Определение: Упорядоченный набор строк E1,E2…En Vназывается базисом подпространства V, если 1) E1,E2…En АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО линейно независимы. 2)Неважно какая строчка X V линейно выражается через E1,E2…En.

является подпространством хоть какого места.

X=α1E1+…+αnEn – разложение X по базису E1,E2…En. Если V= , то молвят о базисе в .

Утверждение: Число строк в разных базисах идиентично. Подтверждение: Пусть E1,E2,…,En и АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО F1,F2,…,Fm – базисы подпространства V.Т.к. E1,E2…En базис , то F1,F2…Fm линейно выражается через E1,E2…En, а т.к. F1,F2…Fm линейно независима, то m≤n.Аналогично доказывается n≤m .

Число строк в базисе именуют размерностью.(dimV=n).Если V= , то АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО dimV=0.

2-3)

X1= +…+ .
….
Xr= …+ .

Если (α1…αn) решения системы AX= , то (α1β1…αnβ1) тоже решение. Если (β1…βn) другое решение, то (α1+β1…αn+βn) тоже решение. Означает огромное количество решений однородной системы AX= явл-ся подпространством в .

Пусть , Тогда получим столбец:

Аналогично проделав с ,то мы получим (n-r) решений и хоть какое(все) решение АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО системы линейно выражается через .При всем этом линейно независимы т.к. rk этой матрицы равен n-r.

Отсюда следует, что размерность подпространства решений линейной однородной системы равна n-r.

Определение. Система из n-r линейно независящих решений линейной однородной системы именуется базовой системой решений.

Базовая система решений — базис АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО в подпространстве решений линейной однородной системы.

Определение. Общим решением линейной системы именуется выражение, позволяющее вычислить все (хоть какое) решения системы.

Аксиома. Если ранг r матрицы однородной системы линейных уравнений меньше числа неведомых n, то общее решение системы можно записать в виде

Билет №16

Структура огромного количества решений неоднородной системы линейных уравнений АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО.

ó AX=B(1’)

разглядим параллельно систему однородную

ó AX= (2’)

Утверждение 1:

Пусть X,Y – решения системы(1’)

Тогда (X-Y) – решение системы (2’)

Док-во:

A(X-Y)=AX-AY=B-B=

Аксиома: Общее решение системы(1) может быть записано в виде

(3) XoH =XrH +C1E1 +…+ Cn-rEn-r = XrH + Xoo

Тут: XrH – личное решение неоднородной системы. Xoo – общее решение АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО однородной системы(2).

C1…Cn – произвольные вещественные числа.

Док-во:

Нужно обосновать:

1) " C1…Cn-r правая часть (3) является решением системы(1).

2) " решения системы(1) может быть записано в виде (3) при неких C1…Cn-r.

Докажем 1): подставим: XrH + C1E1 +…+Cn-rEn-r в (1):

A (XrH + C1E1 +…+ Cn-rEn-r) =

Докажем АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 2): пусть F – некое решение системы(1). В силу утверждения1 F- XrH является решением однородной системы(2) Þ$ C1…Cn-r : F- XrH = C1E1 +…+Cn-rEn-r

ÞF= XrH + C1E1 +…+Cn-rEn-r , где С1…Cn-r – некие действительные числа.

Вопрос 17. Всеохватывающие числа. Алгебраические операции над всеохватывающими числами. Всеохватывающая плоскость АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО.

Простейшее из квадратных уравнений не имеет корней посреди реальных чисел. Попробуем расширить систему реальных чисел до таковой системы чисел, чтоб это уравнение имело решение.

Возьмем различные пары реальных чисел (a,b). Во огромном количестве таких пар введем алгебраические операции:

1) Сложение: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

2) Умножение: (a,b)(c АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО,d)=(ac-bd,ad+bc)

Заметим, что (a,o)+(b,0)=(a+b,0); (a,0)(b,0)=(ab,0). Пару (a,0) отождествляют с реальным числом a.

(0,1)(0,1)=(-1,0), т.е. (0,1)2 = -1. Обычно эту точку обозначают буковкой i и именуют надуманной единицей.

Т.к. (b,o)(0,1)=(0,b), то (0,b)=bi. Получаем, что (a,b)=(a АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО,0)+(0,b)=a+bi. Будем записывать всеохватывающие числа в виде z = a+bi, a,b ∈ R, i2=-1.

Форма записи всеохватывающего числа z = a+bi именуется алгебраической. Число a именуется реальной частью всеохватывающего числа z (a=Re z), b - надуманной частью (b=Im z). Огромное количество всех всеохватывающих чисел обозначают .

Точка с координатами АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО (a,b) соответствует всеохватывающему числу z = a+bi. Число именуют числом, сопряженным числу z = a+bi. На плоскости сопряжение – это симметрия относительно оси абсцисс.

Пусть z1=a1+ib1, z2=a2+ib2, тогда:

1) z1+z2=(a1+a2)+i(b1+b2)

2) z1-z2=(a1-a2)+i(b1-b2)

3) z1z АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО2=(a1a2-b1b2)+i(a1b2+a2b1)

4)

Вопрос 18. Тригонометрическая форма записи всеохватывающего числа. Умножение и деление всеохватывающих чисел в тригонометрический форме.

Модуль всеохватывающего числа - это действительное число . На плоскости |z|- это расстояние от начала координат до точки плоскости, соответственной всеохватывающему числу z.

Аргумент числа z – это угол АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО в радианах, отсчитываемый от положительного направления Ox до радиус-вектора точки. Аргумент определен с точностью до

Если , то .

Получаем: – тригонометрическая запись всеохватывающего числа.

Умножение, деление в тригонометрическом виде:

Пусть , тогда:

. При умножении модули сомножителей перемножаются, а аргументы складываются. Если , то , argz=argz1+argz2. Если , то argz=argz АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО1-argz2

19. Строительство всеохватывающего числа в n-ую степень. Формула Муавра. Извлечение корня n-ой степени из всеохватывающего числа.

Формула Муавра: - (следует из умножения всеохватывающих чисел в тригонометрическом виде)

Пример:

Найдём:

Пусть , тогда . Означает , (2 числа равны если модули совпадают, а аргументы отличаются на 2πk) т.е. .

Итак, , ( ).

При k=n: имеем n разных АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО корней

Пример: найдём

K=0,1,2,3.

K=0: Z1=

K=1: Z2=

K=2: Z3=

K=3: Z4=

Хоть какой полный многочлен имеет корень, тогда

N корней.

20.Линейные (векторные) места: определение, следствия из определения, примеры.

Определение: пусть V - некое огромное количество с данными операциями (сложение) и (умножение на число), для которого производятся характеристики:

1) (коммутативность сложения)

2) (ассоциативность АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО сложения)

3) ( )

4)

5)

6) (5 и 6 - дистрибутивность)

7)

8)

Тогда V именуют линейным либо векторным местом над R.

Следствия:

1)Единственность

Пусть и - нейтральные элементы по сложению, тогда

2)Единственность обратного элемента

Пусть и пусть ,

Тогда

3) ,

4) ,

5)Если , то производится хотя бы одно из равенств:

Примеры:

1)отрицательное линейное место

2)Геометрический вектор

3)Огромное количество последовательностей

4)Огромное количество сходящихся последовательностей

5)Огромное количество нескончаемо малых АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО последовательностей

6)Огромное количество функций на отрезке , - определяются естественным образом

7)Огромное количество непрерывных функций

8)Огромное количество матриц размера m*n

Билет №21

Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и размер линейного места,примеры.

Определение: система векторов именуется линейно зависимой,если есть такие числа

( ),(не все равные нулю сразу),что =

В неприятном случае система АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО векторов является линейно независящей.

Пример:


(2,3)

(3,1)

Вектора , , образуют линейно зависимую систему.

= +

+

Ранг матрицы указывает количество линейно независящих векторов в системе.

Размерность и базис линейного места

Пусть X — линейное место.

Определение. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а неважно какая система из n + 1 вектора линейно зависима АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, то X именуется n –мерным линейным местом, а число n – его размерностью.

Будем обозначать n –мерное линейное место Xn , где n = dimXn — размерность места Xn .

Из определения следует, что размерность линейного места равна наибольшему количеству линейно независящих векторов.

Замечания.

  1. Размерность места, состоящего только из 1-го нулевого вектора АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, равна нулю. Такое место именуется элементарным.
  2. Если в линейном пространстве существует хоть какое число линейно независящих векторов, то такое место именуется бесконечномерным. Мы будем рассматривать, в главном, конечномерные линейные места. Бесконечномерные места являются предметом специального исследования.

Определение. Упорядоченная система векторов e1, e2, … , en О X именуется базисом в X , если

x = 1e1 + 2e2 + … + nen. (1)

БИЛЕТ 22

Линейные операции над векторами

Опр: Вектор - направленный отрезок АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. A – начало, В – конец. Если А=В =

1)Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой либо на || прямых;

2) , , - компланарные, если будучи приведены к одному началу, лежат в одной плоскости;

3) = , если а)| |=| |; б)

Деяния:

Сумма

Характеристики сложения:

1) + = + 2) ( + )+ = +( + )

3)

Умножение вектора на число

Опр.

Характеристики умножения:

1)

2) λ( + )=λ +λ

0

3) х( )=х а)λμ˃0 (λμ) а//

б) λμ˂0 λ(μ )// λ(μа)↑↓ (λμ)

* = ((λμ) λ(μ )(μμ)

4) (λ+μ) =λ

Подтверждение:

Пусть λ˃0, μ˃0

5) Аксиома // , при этом АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Существует ! λϵR; =λ

Подтверждение:

˃0 λ=±

Если , то λ˃0 и λ= Вправду, если λ

Если λ=-- λ ↑↑

6)


arseniti-ziloti-i-politiki-a-a-vasilev-istoriya-vizantijskoj-imperii.html
art-277-versiya-aromata-baldessarini-del-mar-caribbean-edition-svezhest.html
art-is-propaganda-for-whats-really-matters.html